双子のパラドックス

雖然在自己的Blog寫任何文都不需要理由，然而還是稍為註明一下。

緣由今日在twitter看到同好提到某動畫(此動畫實無興趣)出現女性黃金聖鬥士。

還說是「ヤンデレ系聖闘士」(笑)

她的名字叫「パラドックス」。

ネーミングの由来は宇宙物理用語の双子のパラドックス （特殊相対性理論関係のお題）と思われる。

我不打算介紹此角色或是說明其角色名稱，僅就物理學上的「孿生子佯謬」作個說明。

(再者該動畫之作者也不太會懂相對論，也不見得是採用此為發想)

時間膨脹

一對雙胞胎中的姊姊，有一天決定搭太空船到距離太陽系4.34光年的半人馬星座α星。

她的雙胞胎妹妹比較不愛冒險，決定留在地球，看著姊姊以0.866倍的光速飛往半人馬星座α星。

因為半人馬星座α星距離4.34光年遠，而姊姊以0.866倍光速飛行，妹妹觀察姊姊花了五年到達目的地，

不過姊姊宣稱她只花了一半的時間，也就是兩年半，便可以從地球到達半人馬星座α星。

這項歧異要如何解釋？

姊姊的火箭上有個計時器，它利用光速在兩個平行鏡子間來回反射計時，

每次光擊中鏡面，就會發出一聲「滴答」。

姊姊和妹妹聽到相同數量的滴答聲；因為滴答聲是整數，兩人聽到的滴答聲不會有差異。

對姊姊來說，計時器發出一聲「滴答」所需的時間是Δt，是兩面鏡子間距離除以光速。

對妹妹來說，兩面鏡子間距與火箭移動方向垂直，因此間距大小不受運動影響，

亦即她觀察到垂直間距與姊姊相同。

然而，當光在兩面鏡子之間來回撞擊時，鏡子會以速度V做水平移動。

因此，妹妹會觀察到光以對角線路逕前進，才能在移動的鏡面持續撞擊。

對角線路逕比姊姊的和妹妹看到的間距更長。

根據狹義相對論的假設，光對兩人皆以相同速度移動，

所以妹妹聽到每次滴答聲的時間間隔會比姊姊的需要更長的時間。

時間膨脹的大小可用畢氏定理計算，得知Δt(妹)=2Δt(姊)，

姊姊變老的速度只有妹妹的一半。

因此，當她抵達半人馬星座α星時，妹妹已經老了五歲，而她只老了兩歲半；

原本比較老的姊姊變成比較年輕的妹妹了。

勞倫茲收縮

然而也許會反駁說：姊姊怎麼可能以以0.866倍的光速，

在兩年半內抵達距離4.34光年遠的半人馬星座α星？

對於姊姊而言，她認為自己處於靜止狀態，而她的妹妹、

地球以及半人馬座α星正以0.866倍光速相對她運動。

這可以用相對論現象勞倫茲收縮來說明：若棍子朝自己長度方向移動時，會比靜止狀態時顯得較短。

因此，相對於地球與半人馬座α星呈靜止狀態的妹妹而言，地球(妹妹)與α星的距離等於4.34光年，

但就另一個觀察者(姊姊)而言，以速度0.866倍光速前進的地球與半人馬座α星間的距離等於2.17光年，

後者距離縮短了一半。

Twin_paradox

若考慮妹妹認為自己處於靜止狀態而看到姊姊老得比較慢，

公平起見，難道認為自己處於靜止的姊姊不應該認為妹妹老得比她慢？

根據狹義相對論，她的確可以這麼認為！

任何相對於固定恆星(用以有效定義何謂慣性參考系)以一定速度移動的觀察者，

都有權認為自己處於靜止狀態，因為在這種慣性參考系裡，物理法則具有同等效力。

因此姊妹都可以認為自己處於靜止狀態。二人都對！這就是「孿生子佯謬」的關鍵所在。

「孿生子佯謬」的解答如下：只要姊姊相對於妹妹移動，

她們就不處於相同的基準點來比較皺紋多寡，因此她們不能客觀地決定誰真正比較老。

如要比較年紀多寡，姊姊必須在抵達半人馬座α星時減速停下來、調頭再加速返回地球，

當到達地球停止時，她和妹妹才能比較彼此模樣，然後才會發現姊姊果真老得比妹妹慢。

因為她是雙胞胎中移動的那一位，她會經歷時間膨脹現象。

這即透露出姊姊與妹妹的位置並非真正的對稱。